Nguyên hàm- Tích phân

Posted on

Do máy tính ko có kí hiệu cận nên tớ chỉ post cách tính nguyên hàm rồi thay cận vào nhé

 

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1…. I=P(x)f(x)dx với P(x) là đa thức còn f(x) là một trong các hàm số sin(ax+b),cos(ax+b),e^(ax+b),a^x,….

Đặt u=P(x) và dv=f(x)dx

Chú ý: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải tích phân từng phần n lần , mỗi lần P(x) sẽ giảm 1 bậc

2…..I=x^k.f(x)dx trog đó f(x) là 1 trog các hàm số sin(lnx),cos(lnx),…

Đặt u=f(x) và dv=x^k.dx

3….I=P(x)f(x)dx trog đó P(x) là e^(ax+b),a^(x) còn f(x) là sin(ax+b),cos(ax+b)

Đặt u=P(x) và dv=f(x)dx

Chú ý: Trog đó dạng 2 và 3 ta sẽ gặp tích phân luân hồi, sau khi tính 2 lần lại trở về tích phân ban đầu

4….I=P(x).ln^n(x)

Đặt u=ln^n(x) và dv=P(x)dx ( tính n lần )

5….I=căn(x^2 + a^2)

Đặt u=căn(x^2 +a^2) và dv=dx

 

TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1…Đổi biến số cách 1: Để tính tích phân  I=|f(x)dx cận từ a đến b, ta đặt t=g(x) với g(x) chứa trog f(x). tiếp theo biểu diễn f(x)dx theo t và dt. Ta thu đc tích phân theo t ( nhớ rằng đổi biến là phải đổi cận)

 

—- Hàm có mẫu số, có thể chọn t là mẫu số

—-hàm chứa căn[g(x)] có thể chọn t=căn[g(x)]

—-Hàm có dạng 1/căn[(x+a)(x+b)] có thể chọn t=căn(x+a) + căn(x+b)

2…Đổi biến số cách 2: Để tính I=|f(x)dx ta đặt x=g(t) rồi cũng làm như cách 1 ( cách này kết hợp với phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ)

—-Hàm chứa căn(a^2-x^2), đặt x=asint,t thuộc [-pi/2 đến pi/2]

—-Hàm chứa căn(x^2-a^2), đặt x=a/cost, t thuộc [0;pi/2) giao [pi;3pi/2]

—-Hàm chứa căn(x^2+a^2), đặt x=atant , t thuộc (-pi/2;pi/2)

—-Hàm chứa căn[(a+x)/(a-x)], đặt x=acos2t, t thuộc (0;pi/2)

—-Hàm chứa căn[(x-a)(b-x)] , đặt x=a+(b-a)sin^2(t) , t thuộc [0;pi/2]

3.Đổi biến số hàm lượng giác: giả sử cần tính tích phân I=R(sinx,cosx)dx với R là hàm vô tỉ ta có thể chọn các hướng sau :

—-Hướng 1: Nếu R lẻ đối với sinx,R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx) thì đặt t=cosx

—-Hướng 2: Nếu R lẻ đối với cosx,R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx) thì đặt t=sinx

—-Hướng 3: Nếu R chẵn đối với sinx và cosx, R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx) thì đặt t=tanx or t=cotx

—-Hướng 4: Có thể đặt biến số t=tan(x/2) đê đưa về tích phân hàm phân thức hữu tỉ

 

TÍCH PHÂN CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

Ta dựa vào đặc thù của hàm , dùng phương pháp phân tích hoặc đồng nhất thức để đưa nguyên hàm đã cho về các nguyên hàm cơ bản sau:

 

— I=|(ax+b)dx/(cx+e)=|[a(cx+e)/c +b – ae/c]dx/(cx+e) = a/c|dx + (b-ae/c)|dx/cx+e)

— I=|(ax^2 + bx +c)dx/(ex+f) hoặc I=|(ax^2 + bx +c)dx/(mx^2 +nx+p) thì ta chia tử cho mẫu

— I=|dx/(mx^2 + nx+p) ta xét 3 trường hợp:

++ TH1: Mẫu có 2 nghiệm x1 và x2 thì đưa về dạng:

I=|dx/(mx^2+nx+p) = |dx/m(x-x1)(x-x2) = 1/m(x1-x2)|(dx/(x-x1) – dx/(x-x2) = ln|(x-x1)/(x-x2)|/m(x1-x2)

++TH2: Mẫu có nghiệm kép thì đưa về dạng :

I=|dx/(mx^2+nx+p) = |dx/[m(x+n/2m)^2 = (-1)/[m(x+n/2m)

++TH3: Mẫu vô nghiệm thì đưa về dạng:

I=|dx/(mx^2+nx+p) = |dx/[(x+q)^2 + a^2] đặt x+q=atant

— I=|(mx+n)dx/(ax^2+bx+c) = |[m(2ax+b)/2a +n-mb/2a]dx/(ax^2 +bx+c) =m/2a|d(ax^2+bx+c) – mb/2a|dx/(ax^2 +bx+c)

— I=|p(x)/q(x) nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu rồi làm như trên

 

 

~ELF aka VPQ~ updating………

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s